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浅谈因式分解解题的基本思想

来源:书楼初级中学校  作者:罗伟 曾祥伦  浏览量:   发布时间:2020-12-28

因式分解的概念:把一个多项式变换成几个积分表达式的乘积叫做多项式的因式分解,也作分解因式。VJX四川教育在线

意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。VJX四川教育在线

分解因式与整式乘法互为逆变形。实际上要充分掌握因式分解,主要还得把整式得乘法掌握熟练,才能灵活的进行因式分解。VJX四川教育在线

下面我简单谈一下因式分解常用的几种方法:VJX四川教育在线

一、提出公因式VJX四川教育在线

如果多项式的每一项都有一个公因式,你可以把它提出来,把多项式变成两个因子的乘积。VJX四川教育在线

例1、 分解因式x²-2x -xVJX四川教育在线

x²-2x -x=x(x -2x-1)VJX四川教育在线

二、应用公式法VJX四川教育在线

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。如,和的平方、差的平方VJX四川教育在线

例2、分解因式a²+4ab+4b²VJX四川教育在线

a²+4ab+4b² =(a+2b)²VJX四川教育在线

三、分组分解法VJX四川教育在线

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)VJX四川教育在线

例3、分解因式m2+5n-mn-5mVJX四川教育在线

m2+5n-mn-5m= m2-5m-mn+5nVJX四川教育在线

= (m -5m )+(-mn+5n)VJX四川教育在线

=m(m-5)-n(m-5)VJX四川教育在线

=(m-5)(m-n)VJX四川教育在线

四、十字相乘法(经常使用)VJX四川教育在线

对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)VJX四川教育在线

例4、分解因式7x²-19x-6VJX四川教育在线

7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)VJX四川教育在线

五、配方法VJX四川教育在线

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。VJX四川教育在线

例5、分解因式x²+3x-40VJX四川教育在线

解x²+3x-40=x²+3x+(9/4) -(9/4) -40VJX四川教育在线

=(x+3/2) ²-(169/4 )VJX四川教育在线

=(x+3/2+13/2)(x+3/2-13/2)VJX四川教育在线

=(x+8)(x-5)VJX四川教育在线

六、拆、添项法VJX四川教育在线

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。VJX四川教育在线

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)VJX四川教育在线

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)VJX四川教育在线

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)VJX四川教育在线

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)VJX四川教育在线

=(c+b)(c-a)(a+b)VJX四川教育在线

因式分解首先要看有没有公因式,如果有必须先提公因式;其次,在观察能不能用公式法进行因式分解;如果不能用因式分解在考虑用分组分解或是十字相乘法。总之,要仔细观察题进行选择适当的方法,一定要分解彻底。VJX四川教育在线

注意,学生在分解完后,特别要观察最终的结论是否符合因式分解的概念。检验是看能不能还原。VJX四川教育在线

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